18 的平方根，也就是求一个数 x，使得它乘以它自己等于 18。就像你要找到一个正方形的边长，它的面积是 18 平方单位，这个边长自然不是一个整数。 在数轴上，18 的平方根是两个彻底反之的正数值，正数叫它 $x_1$，负数叫它 $x_2$。它们加起来是 0，像是一对对立的兄弟。算出正根后，负根自然就出来了，出于 $x_2 = -x_1$。

这就像你身高 185 厘米，体重 70 公斤，这两个数据是绝对独立的，但算个 $x_1$ 的时候，顺便滚出个 $-x_1$ 罢了，不用特意去推导。 让我们试着算一下如何求。18 介于 3 和 4 之间，自然也介于 4 和 5 之间。出于 $3^2 = 9$，$4^2 = 16$，还没到 18。再试 $4.2$ 吧，$4.2 times 4.2 = 17.64$。

哎呀，还差一点点。

那就往大了，试 $4.3$，$4.3 times 4.3 = 18.49$。

这就超过啦。说明答案在 4.2 和 4.3 之间。 为了更精准，我们能够看看小数点后面第一位。18 减去 16 是 2，我们在 16 后面补个 2，变成 162。取个整数局部，把这个数除以它本身，就是 101，拿到 101。

然后在 101 后面补个 2，变成 1012。取个整数局部，除以它本身，拿到 101，再补 2，变回 1012。

看来这就是重复过程了，但要是你用计算器按一遍，结局就是 $4.242640687...$。 这里有个有趣的点，大量人好办搞混平方根和算术平方根。算术平方根特指那个正的，故此 $x_1$ 就是算术平方根，约等于 4.24。而 $pmsqrt{18}$ 才是整个的平方根集合。

要是不带那个正负号，你只拿到了一局部，就像只看到白天，忘了黑夜一样。 算数平方根这个概念实际上挺有意思的，出于它在几何里有个完美的解释。

要是你画一个边长为 $x$ 的正方形，面积是 $x^2$。

要是想要面积正好是 18，你得画一个 $x$ 和 $y$ 两个正方形拼起来，让总面积等于 18。

这时候，$sqrt{18}$ 这个数实际上代表啥？它代表直角三角形的一条直角边长度，要么说是那个正方形的边长。 这个数还能够用勾股定理来理解。想象一个直角三角形，斜边长是 18，一条直角边是 3，那另一条直角边就是 $sqrt{18^2 - 3^2}$，也就是 $sqrt{259}$。

要是斜边是 4，直角边是 3，那另一条直角边是 $sqrt{16}$，也就是 4。

实际上不管如何搭积木，只要面积是 18，那个正的边长就是 $sqrt{18}$，负的边长就是它的反之数，这样拼出来的图形才能彻底重合，要么在数轴上相对。 在工程要么编程里，有时候会遇到这个难题。

比如你要初始化一个变量，赋值是 18。

要是你只写 `val = 18`，变量里存的是 18。

要是要存的是平方根，你得写 `val = sqrt(18)`，这时候值才变成 4.24。

要是你要存绝对值也是正的，那还是 4.24。

要是你要存负数，就得写 `-sqrt(18)`，变成 -4.24。 还有一个角度，平方根在计算机科学里有个特性。对于任何正数 $n$，$sqrt{n} times sqrt{n} = n$，而 $-sqrt{n} times -sqrt{n} = n$。

这就像乘法里的零因子性质，除了 0 之外，任何数乘以它的反之数都等于它本身。

故此在浮点数运算里，要是你直接取 $sqrt{18}$ 然后强制让它为负，结局会变回一个正数，出于计算机的平方根函数默认回正值。要拿到负根，务必手动加个负号。 实际上，$sqrt{18}$ 这个数字在简化后能够写成 $3sqrt{2}$。出于 $18 = 9 times 2$，而 9 是个彻底平方数，能够开出来去掉。$sqrt{18} = sqrt{9} times sqrt{2} = 3sqrt{2}$。

要是你想知道 $sqrt{2}$ 是多少，那它约等于 1.414，故此 $3 times 1.414 = 4.242$。

这个形式看起来更简洁，但在日常计算里，小数形式 $4.2426...$ 更实用。 想想看，$sqrt{1}$ 是 1，$sqrt{4}$ 是 2，$sqrt{9}$ 是 3，$sqrt{16}$ 是 4。到了 18，它略微大一点，故此平方根也略微大一点，肯定在 4 和 5 之间，接近 4.2 多一点。

要是非要找一个比它小的整数，那就是 3，但 3 的平方是 9，还没到 18。

要是找一个比它大的，那就是 4，4 的平方是 16，也差得远。

故此 4.2 左右挺合理。 有时候人们会混淆平方和平方根。平方是把数扩大，比如 $x^2$ 像平方电池，容量变大；平方根是开方，像开电池，容量变回原来的数值。

要是你想知道 18 的平方，那是 $324$，这比 18 大得多。

要是你问 18 的平方根，那是把大数变成了小数，大小变得挺小。 在数学课本上，你可能会看到 $pmsqrt{x}$ 这种写法，表示正负两个根。在维基百科要么数学软件的公式编辑器里，输入 $sqrt{18}$ 会自动算出 $3sqrt{2}$ 要么小数近似值。但在初中数学里，我们可能只要求写出 $pmsqrt{18}$ 要么近似到十位数的 $4.2$，不需求写那么多。 总而言之，18 的平方根就是 $+sqrt{18}$ 和 $-sqrt{18}$ 这两个数。它们互为反之数，绝对值相等，加起来是 0。正的那个叫算术平方根，是 4.2426...；负的那个是它的反之数。在计算器上输入根号 18，直接拿到的就是正数局部。

要是需求负数，得自己补上负号。

这就是数学最简洁也最有趣的地方了，一个数，有两个代表它的“面孔”。